https://zh.wikipedia.org/wiki/泰勒公式
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指数函数 （红色实线）与在原点展开的泰勒多项式前四项（绿色虚线）。在这个函数中，泰勒多项式展开的项数越多，曲线拟合的越好。
在数学中，泰勒公式（英語：Taylor's Formula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一個可微函數，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，這個多項式稱為泰勒多項式（Taylor polynomial）。泰勒公式还给出了餘項即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例[1]。拉格朗日在1797年之前，最先提出了帶有余項的現在形式的泰勒定理。
泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数在的附近可以用以下多项式来近似地表示：
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称为指数函数在0处的阶泰勒展开公式。这个公式只对附近的有用，离越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。
https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/252d639e-7f79-401e-ae2e-84b20cab8851/4f17d5c43c3d453aeb4305d72d8fb84bee737c8d
对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：
，其中 是比h 高阶的无穷小。
也就是说，或。